Introducción a la Inflación
El peor enemigo del conocimiento no es la ignorancia, es la ilusión del conocimiento
Stephen Hawking
I. Introducción
La inflación cosmica es una modificación de la teoria estandar del Big Bang, Explica el periodo del estallido del big bang y propone una teoria del episodio de expansión.Evidencia de inflación:
- Uniformidad a gran escala
- problema de planitud
- Poca uniformidad a pequeña escala
II. Dinámica de la Inflación
A. La cosmologia estandar del big bang
El modelo estandar del big bang, requiere homogeneidad y también isotropia a gran escala. Se espera que sea una metrica maximalmente simetrica y además tenga incluido el factor de escala \( a(t) \).
Coordenadas comóviles $$ \textit{l}_f = a(t) \textit{l}_c $$
Una de las ideas centrales de la cosmologia es el principio cosmologico, es decir que a escala suficientemente grandes, el universo es isotropo y homogeneo. Por lo tanto necesitamos un espacio que sea homogeneo e isotropo para cualquier momento t. La metrica más general compatible con esta simetria es
$$ ds^2=-dt^2+a^2(t)ds^{2}_{3} $$con \( ds^{2}_{3} \) métrica en 3D, de un espacio homogeneo e isótropo. Para que \( ds^{2}_{3} \) sea isótropo y homogeneo, significa que debe tener 3 rotaciones (isótropia) y 3 traslaciones (homogeneidad). existen 3 espacios que cumplen estas simetrias.
-
El más simple es el espacio plano \( \mathbb{R}^3 \) Donde \( ds^2=dx^2+dy^2+dz^2 \), por simplicidad trabajamos en coordenadas esfericas
\( x= r\sin\theta\cos\phi \)
\( y= r\sin\theta\sin\phi \)
\( z= r\cos\theta \)
$$ ds^2=dr^2+r^2 d\Omega^2 $$ -
El segundo espacio se puede construir como la 3-esfera en 4 Dimensiones.
$$ w^2+x^2+y^2+z^2=R^2 $$ Con \( R \) : radio de la esfera. La esfera tiene una curvatura positiva, es decir que lineas paralelas convergen. llamamos \( x^2+y^2+z^2=r^2 \), por lo tanto $$ r^2+w^2=R^2 $$ derivamos esta ultima expresión.
\( dw = -\frac{r}{w}dr=-\frac{r}{(R^2-r^2)^{(1/2)}}dr \) y finalmente $$ ds^2=dx^2+dy^2+dz^2+dw^3=dr^2+r^2 d\Omega^2 + \frac{r^2dr^2}{R^2-r^2} $$ $$ ds^2=\frac{r^2}{(R^2-r^2)}dr^2+dr^2+r^2 d\Omega^2=\frac{1}{1-\frac{r^2}{R^2}}dr^2+r^2d\Omega^2 $$ - El ultimo espacio es la hiperboloide \( \mathbb{H} \). $$ x^2+y^2+z^2-w^2=R^2 $$ Este espacio tiene curvatura negativa, las lineas paralelas divergen. de la misma manera que el espacio anterior consideramos \( x^2+y^2+z^2=r^2 \), con lo cual, \( w^2=R^2+r^2 \), derivamos esta expresión para encontrar el diferencial de w $$ dw=\frac{r dr}{(R^2+r^2)^{1/2}} $$ y finalmente \( ds \) queda $$ ds^2=-dw^2+dx^2+dy^2+dz^2=-\frac{r^2dr^2}{R^2+r^2}+dr^2+r^2 d\omega^2 $$ $$ ds^2=\frac{1}{1+\frac{r^2}{R^2}}dr^2+r^2 d\Omega^2 $$
Acción de Einstein - Hilbert
La ecuación de Einstein se puede obtener de una acción
$$ S=\frac{c^2}{16\pi G}\int d^4x \sqrt{-g}(R-2 \Lambda) +S_m $$
\( g \) es el determinante de \( g_{\mu \nu} \) \( d^4x \sqrt{-g} \) es el elemento invariante para las integraciones. Por ejemplo en 3D \( ds^2=dr^2+r^2d\theta^2+r^2\sin^2\theta d\phi^2 \) \( g=det(g_{\mu \nu})=det(1*r^2*r^2\sin^2\theta)=r^4\sin^2\theta \) y por lo tanto \( \sqrt{g}=r^2\sin^2\theta \) y finalmente tenemos \( d^3x\sqrt{g}=drd\theta d \phi r^2\sin\theta \) \( d^4x\sqrt{-g} \) es invariante bajo un cambio de coordenadas. \( R,\ \lambda \) son escalares. por lo tanto \( S \) es invariante bajo transformación.
Para obtener la ecuación de Einstein tenemos que hacer una variación de la acción con respecto al unico campo que tenemos, la metrica $$ \delta S =\frac{c^4}{16G\pi} \int d^4x \left[\delta \sqrt{-g}(R-2\Lambda)+\sqrt{-g} \delta R \right] + \delta S_m $$ para cualquier matriz M, tenemos la siguiente propiedad matematica \( detM=exp(Tr \ln M) \), aplicando logaritmo a ambos lados \( \ln (detM)= Tr(lnM) \) y finalmente \( \frac{\delta(detM)}{detM}=Tr[M^{-1} \delta M] \) Podemos usar esta propiedad con la metrica y tenemos que $$ \frac{\delta g}{g}=g^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu} $$ $$ \delta \sqrt{-g}=-\frac{\delta g}{2\sqrt{-g}}=-\frac{1}{2\sqrt{-g}}g g^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu}=\frac{\sqrt{-g}}{2}g^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu} $$ Pero \( g^{\mu \nu}g_{\mu \nu}=4 \) tal que \( \delta (g^{\mu \nu} g_{\mu \nu})=0 \) $$ \delta \sqrt{-g}=-\frac{1}{2}\sqrt{-g}g^{\mu \nu}\delta g^{\mu \nu} $$ Para \( R=R_{\mu \nu}g^{\mu \nu} \) tenemos \( \delta R=R_{\mu \nu} \delta g^{\mu \nu}+g^{\mu \nu}\delta R_{\mu \nu} \) Para calcular \( \delta R_{\mu \nu} \) necesitamos \( \delta P^{\alpha}_{\mu \nu} \) $$ P^{\alpha}_{\mu \nu}= \frac{1}{2} g^{\mu \nu}\left(\partial_{\mu} g_{\nu \beta}+\partial_{\nu} g_{\beta \mu} -\partial_{\beta}g_{\mu \nu} \right)+\frac{1}{2}g^{\alpha \beta} \left(\partial_{\mu} \delta g_{\nu \beta}+\partial_{\nu} \delta g_{\beta \mu}-\partial_{\beta}\delta g_{\mu \nu} \right) $$ $$ \frac{1}{2}g^{\alpha \beta} \left( \nabla_{\mu} \delta g_{\nu \beta} + \nabla_{nu} \delta g_{\beta \mu} -\nabla_{\beta}\delta g_{\mu \nu} \right) $$ $$ \delta R_{\mu \nu}= \partial_{\alpha} \delta P^{\alpha}_{\mu \nu} -\partial_{\nu} \delta P^{\alpha}_{\mu \alpha} +\delta P^{\alpha}_{\alpha \beta}P^{\beta}_{\nu \mu}+P^{\alpha}_{\alpha \beta}\delta P^{\beta}_{\nu \mu}- \delta P_{\nu \beta} P^{\beta}_{\alpha \mu} -P^{\alpha}_{\nu \beta}\delta P^{\beta}_{\alpha \mu} $$ $$ \delta R_{\mu \nu}= \nabla_{\alpha} \delta P^{\alpha}_{\mu \nu}-\nabla_{\nu}\delta P^{\alpha}_{\mu \alpha} $$ $$ g^{\mu \nu} \delta R_{\mu \nu} = \nabla_{\mu} x^{\mu} $$ Donde \( x^{\mu}=(g^{\mu \beta}g^{\alpha \gamma}-g^{\mu \alpha}g^{\beta \gamma})\nabla_{\alpha}\delta g_{\beta \alpha} \) ahora tenemos $$ \int d^4x \sqrt{-g}g^{\mu \nu} \delta R_{\mu \nu}= \int d^4x \sqrt{-g} \nabla_{mu}x^{\mu}=\int d^3x \sqrt{-h} h^{\mu}x_{\mu} $$ Usando el teorema de Stokes y \( h_{\mu \nu} \) metrica sobre el borde en 3D y \( h^{\mu} \) vector normal al borde hacia fuera. No contribuye a las ecuaciones. $$ \delta S = \frac{c^4}{16 G \pi} \int d^4x \sqrt{-g} \left[ -\frac{1}{2} g_{\mu \nu} \delta g^{\mu \nu} (R-2 \Lambda)+ R_{\mu \nu} \delta g^{\mu \nu} \right]+ \delta S_m $$ $$ \frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}=\frac{c^4}{16G \pi} \left[ R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} R g_{\mu \nu}+\Lambda g_{\mu \nu} \right] \sqrt{-g} +\frac{\delta S_m}{\delta g^{\mu \nu}}=0 $$ finalmente tenemos que sobrevive la siguiente ecuación $$ G_{\mu \nu}+\Lambda g_{\mu \nu}=\frac{8G \pi}{c^4} \left(-\frac{2}{\sqrt{-g}} \frac{\delta S_m}{\delta g^{\mu \nu}} \right) $$ se define el tensor \( T_{\mu \nu} \equiv -\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_m}{\delta g^{\mu \nu}} \) $$ G_{\mu \nu}+\Lambda g_{\mu \nu}=\frac{8G \pi}{c^4}T_{\mu \nu} $$ ¿Que es el tensor de Energía-Impulso?
Este describe la distribución y flujo de energía y momentum debido a la presencia y movimiento de materia y radiación en una región del espacio-tiempo.
si tomamos un sistema de coordenadas con \( u^{\mu}=(c,\vec{u}) \), si un observador se mueve comovil al fluido tenemos
- \( T^{00}=c^2\rho \) densidad de energía de las particulas.
- \( T^{i0}=T^{0i}=c \rho u^{i} \) momento lineal
- \( T^{ij}=\rho u^{i} u^{j} \) la presión.
Termodinamica
Expansión adiabatica:
Durante la parte inicial de la expansión del universo las velocidades de los fotones y otras particulas fueron mayores a la expansión de Hubble (CMB) por lo que el equilibrio terminico deberia mantenerse en cualquier elemento comovil de volumen local. No hay entrada o salida neta de energia, lo que se define como una expansión adiabatica.
Primera ley de la termodinamica
Radiación- Propiedades estadisticas de un gas en equilibrio termico
Para un gas de una especie \( i \) su estadistica viene dada por una función de distribución \( f_i(\vec{p}) \). La función nos dice la fracción de un estado con momento \( \vec{p} \) a una temperatura \( T \).
$$f_i(\vec{p})=\frac{1}{e^{(E_i(\vec{p})-\mu_i)/(K_nT)}\pm 1}$$
considerando \( E_i = \sqrt{p^2+m^2} \), en el caso \( +1 \) son fermiones y el caso \( -1 \) bosones, esta distinción viene del principio de exclusión de Pauli, en cualquier estado solo se puede poner una particula del tipo fermion.
Con esta distribución podemos calcular la densidad numerica la densidad de energía y la presión.
$$n_i=\frac{g_i}{(2 \pi \hbar)^{3}} \int f_i(p)d^3p$$
$$ \rho_i=\frac{g_i}{(2 \pi \hbar)^{3}} \int E_i(p) f_i(p)d^3p $$
$$ P_i=\frac{g_i}{(2 \pi \hbar)^{3}} \int \frac{p^2}{3E(p)} f_i(p)d^3p $$
estuvimos considerando que \( E(p) \) depende solo de \( p=\sqrt{\vec{p}^2} \) y por lo tanto \( f_i=f_i(p) \). Ahora conviene introducir \( E_i^2=p^2+m_i^2 \) y por lo tanto cambiamos el diferencial \( E_idE_i=pdp \) con \( p=\sqrt{E_i^2-m_i^2} \)
ahora tenemos las mismas ecuaciones pero de una manera más manejable
$$n_i=\frac{g_i}{2 \pi^2 \hbar^3} \int_{m_i}^{\infty} \frac{(E^2-m_i^2)^{1/2}EdE}{e^{(E-\mu_i)/(K_bT)}\pm 1}$$
$$\rho_i=\frac{g_i}{2 \pi^2 \hbar^3} \int_{m_i}^{\infty} \frac{(E^2-m_i^2)^{1/2}E^2dE}{e^{(E-\mu_i)/(K_bT)}\pm 1}$$
$$P_i=\frac{g_i}{6 \pi^2 \hbar^3} \int_{m_i}^{\infty} \frac{(E^2-m_i^2)^{3/2}dE}{e^{(E-\mu_i)/(K_bT)}\pm 1}$$
Podemos resolver en dos limites: no relativista \( m_i/K_bT \gg 1 \) y caso ultrarelativista \( m_i/K_bT \ll 1 \).
Para la radiación usamos la aproximación ultrarelativista. En el caso del la densidad de energía tenemos lo siguiente para Bosones
$$\rho= \frac{g_i}{2 \pi \hbar^3}\int_{m_i}^{\infty} \frac{E^3dE}{e^{E/K_bT}-1}$$
Para resolver esta integral hacemos el cambio de variable \( x=E/K_bT \) y luego tenemos la integral
$$I=\int_0^{\infty}\frac{x^3 dx}{e^x-1}$$
Ahora tenemos que usar la funcion de Gamma y la función Z de Riemann, reemplazando esto nos da
$$\rho_i=\frac{g_i\pi^2}{30}\frac{(K_bT)^4}{\hbar^3}$$
Ahora para el caso de los fermiones podemos utilizar el resultado anterior, con la siguiente relación
$$\frac{x^3dx}{e^x+1}=\frac{1}{e^x-1}-\frac{2}{e^{2x}-1}$$
utlizando cambios de variables podemos llegar a
$$\int_0^{\infty}\frac{x^3dx}{e^x+1}=\frac{7}{8}\int_0^{\infty}\frac{x^3dx}{e^x-1}$$
Ahora podemos resolver de la misma manera, solo cambia un factor antes de la integral. Para fermiones tenemos que
$$\rho_i=\frac{7}{8}\frac{g_i\pi^2}{30}\frac{(K_bT)^4}{\hbar^3}$$
Para obtener la presión de este fluido ultrarelativista tenemos que volver a la ecuación para la densidad(\ref{1}) y para la presión (\ref{2})
si aproximamos la energia solo al momento de las particulas y despreciamos el termino de la materia en reposo, tenemos que para la presión
$$P=\frac{g_i}{(2\pi\hbar)^3}\int \frac{p^2 f_i(p) d^3p}{3p}$$
podemos usar el valor obtenido para la densidad con el que tenemos que
$$\rho=\frac{g_i}{(2\pi\hbar)^3}\int p f_i(p)d^3p$$
reemplazamos la integral de la densidad en la ecuación para la presión y tenemos que
$$P=\frac{1}{3}\rho$$
Radiacion de cuerpo negro y la ley de Stefan-Boltzmann.
para cada foton tenemos una energía de \( E=h\nu \).
La densidad del numero de fotones para un intervalo frecuencia \( (\nu,\nu+d\nu) \)
$$\eta_{\gamma}(\nu)d\nu=\frac{8 \pi \nu^2d\nu}{e^{(h\nu)/(K_bT)}-1}$$
Esta es la ley de Planck.
A partir de esta ley podemos encontrar la densidad de energía para los fotones, la cual se llama ley de Stefan-Boltzmann, lo cual en definitiva es la integral en todo el rango de las frecuencias
$$P'(T)=\int_0^{\infty} \eta(\nu) d\nu=\frac{2\pi^5k^4}{15h^3}T^4=\sigma T^4$$
Volviendo a la ecuación de Friedmann, esta se puede escribir en función del parametro de densidad.
$$\Omega-1=\frac{k}{a^2H^2}$$
esto se obtiene definiendo la \( \Omega \) a partir de la densidad critica
$$\Omega= \frac{\rho}{\rho_c}$$
donde la densidad critica es
$$\rho_c = \frac{3H^2m_{pl}^2}{8 \pi}$$
Notar la relacion del parametro de curvatura \( k \) con \( \Omega \) el parametro de densidad. si \( k=+1,0,-1 \) corresponde a densidad sobrecritica( \(\Omega > 1 \) ), critica ( \( \Omega=1 \) )
y subcritica ( \( \Omega < 1 \) ) respectivamente. Si tomamos la ecuación de continuidad $$\dot{\rho}c^2=-3H(\rho c^2-P)$$ y consideramos una expansión con presión constante como hemos dicho anteriormente, tenemos la siguiente integral $$\int \frac{\dot{\rho(t)}c^2 dt}{\rho(t)c^2+p}= -3\int \frac{\dot{a(t)}dt}{a(t)}$$ sea \( p \) proporcional a \( \rho c^2 \) con un factor de proporcion \( \omega \) $$p=\omega \rho c^2$$ podemos resolver la integral de manera directa $$\rho \propto a^{-3(1+\omega)}$$ Ahora en la ecuación de Friedmann cuando el factor de escala es pequeño se puede despreciar el termino de curvatura y tenemos que $$H(t)= \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3}} \propto a^{-3/2(1+\omega)}$$ y por lo tanto $$a^{3/2(1+\omega)} \propto t$$ Resumiendo lo anterior obtuvimos que para un universo con curvatura igual a cero y \( \Omega=1 \)
Modelo Estandar de Cosmologia.
la Historia del Universo la podemos enunciar en 5 etapas claves:
- Estado denso caliente temprano: conocido como Big Bang: el modelo estandar no entrega mucha información sobre este momento
- Asimetrias materia/antimateria: El modelo estandar no entrega información.
- Era dominada por radiación: El modelo estandar de cosmologia nos proporciona información sobre la nuclesintesis primordial, los grados de libertad, la terminalizacion del CMB.
- Era dominada por materia: Dispersión del CMB, crecimientoo de estructuras.
- Aceleracion cosmologica: Energia oscura y destino del universo.
Tiempo del universo para igualdad Materia-Radiación.
Anteriormente se calculo que las densidades de materia y radiación vienen de la ecuación:
$$\rho=\rho_0(\frac{a_0}{a})^{3(1+\omega)}$$
Igualando ambas densidades en terminos del parametro de densidad tenemos que
$$a_{eq}=a_0 \frac{\Omega_{r,0}}{\Omega_{m,0}}$$
Por datos observacionales tenemos que \( \Omega_r,0 \approx 8.4 \times 10^{-5} \) y \( \Omega_{m,0} \approx 0.3 \). En terminos del redshift \( 1+z_{eq}=\frac{a_0}{a_{eq}}=\frac{\Omega_{m,0}}{\Omega_{r,0}} \approx 3570 \).
La ecuacion de friedman para un universo con materia y radiación se escribe como $$\frac{H^2(t)}{H_0^2}=\Omega_{m,0}\left(\frac{a_0}{a}\right)^{3}+\Omega_{r,0}\left(\frac{a_0}{a}\right)^{4}$$ La ultima ecuacion se puede reescribir de manera diferencial como $$H_0 dt=\frac{ada}{a_0^2 \sqrt{\Omega_{r,0}}}\left(1+\frac{a}{a_{eq}}\right)^{-1/2}$$ Integrando obtenemos que $$H_0t=\frac{4(a_{eq}/a_0)^2}{3 \sqrt{\Omega_{r,0}}}\left[1-\left(1-\frac{a}{2a_{eq}}\right)\left(a+\frac{a}{a_{eq}}\right)^{1/2}\right]$$ Ahora reemplazando \( a=a_{eq} \) para obtener el tiempo de la igualdad, tenemos $$t_{eq}=\frac{4}{3H_0}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{\Omega_{r,0}^{3/2}}{\Omega_{m,0}^{2}}$$ reemplazando los terminos actuales que se conocer \( H_0,\Omega_{m,0},\Omega_{r,0} \) tenemos que el tiempo es \( t_{eq} \approx 47000 yr \).
Recombinación
El CMB tiene un espectro de cuerpo negro, lo cual nos da un remanente perfecto de un tiempo anterior. Este tiempo en el universo la temperatura era tal que los electrones y protones no podian universe en un atomo neutro, en cambio el universo estaba lleno de plasma. En esta era la materia y los fotones interactuaban fuertemente y estaban en equilibrio.
El CMB que vemos hoy data de esa epoca, más precisamente de la epoca en que los electrones y neutrones se univeron por primera vez en hidrogeno neutro emitiendo un foton en el proceso $$e^{-}+P^{+} \longleftrightarrow H + \gamma$$ el momento en que esto ocurre se llama recombinación.
La transmutación de particulas implica que el numero de constituyentes no es fijo y puede ir cambiando.
Cuando esto sucede utilizamos el potencial quimico que es una generalizacion de la distribución de Boltzmann cuando el numero de constituyentes no es fijo.
Cada estado \( \mid n> \) puede ser asignado a una energia \( E_n \) y un numero de particulas \( N_n \). Un estado en equilibrio se caracteriza por dos propiedades macroscopicas: La temperatura y el potencial quimico. Esto es por medio de la distribución de Boltzmann $$p(n)=\frac{e^{-\beta(E_n-\mu N_n)}}{Z}$$ En terminos de mecanica estadistica esto se conoce como gran ensamble canonico. Donde \( Z \) es la función partición.
Consideremos particulas en un gas con energía \( E=\frac{p^2}{2m} \) La distribución de Boltzmann generalizada nos muestra el promedio de numero de particulas con momentum \( \vec{p} \) es $$ < N ( \vec{p} ) >=\frac{1}{Z_p}\sum_{n_p=0}^{\infty}n_p e^{-\beta(n_p E_p -\mu n_p)} $$ la funcion de partición gran canonica, es dada por la función de partición. Con \( Z_p \) podemos calcular el numero esperado de particulas $$ < N (p) > = \frac{1}{e^{-\beta(E_n)-\mu}-1} $$ Esto se conoce como la distribución de Bose-Einstein. Para calcular el numero total promedio de particulas integramos todos los momentos \( \vec{p} \): $$ N=\frac{V}{(2\pi \hbar)^3} \int d^3p N(\vec{p}) $$ sabiendo que \( n=N/V \) podemos obtener \( n \), haciendo la aproximación de \( e^{-\beta \mu}>>1 \) para eliminar el denominador \( -1 \) $$n \approx \frac{4\pi}{(2\pi \hbar)^3}e^{\beta \mu} \int_{0}^{\infty} dp p^2 e^{-\beta p^2/2m)}=\left(\frac{mK_b T}{2\pi \hbar^2}\right)^{3/2}e^{\beta \mu}$$ si consideramos un gas con n fijo $$e^{\beta \mu}=\left(\frac{mK_b T}{2\pi \hbar^2}\right)^{3/2}n$$ podemos ver una explicacion para la aproximación \( e^{-\beta \mu}>>1 \) $$ n<<\left(\frac{2\pi \hbar^2}{mK_b T}\right)^{3/2} $$
El gas tiene un limite y no puede ser tan denso. En particular la distancia promedio entre particula debe ser mayor que la longitud de onda promedio de Broglie.
Consideremos un gas de electrones y protones en equilibrio a alguna temperatura, teniendo la posibilidad de cambiar y formar un hidrogeno por medio de una reaccion atomica, esto es \( e^{-}+P^{+} \longleftrightarrow H + \gamma \) Para simplificar el problema asumimos que el atomo se forma en su estado fundamental, con una energia vinculante( aun que es una mala suposición) $$E_{vinc}\approx 13.6eV$$ El hidrogeno se forma a temperaturas significativamentes más bajas que \( E_{vinc} \). Ahora podemos pensar la energía de enlace como la diferencia de energía(o diferencia de masa) $$(m_e+m_p-m_H)c^2=E_{vinc}\approx 13.6eV$$ cada una de nuestras particulas viene con un numero \( g \) de estados internos. El electron y el proton tienen \( g=2 \) correspondiente a los estados de espin arriba y abajo. Para el Hidrogeno tenemos \( g=4 \) El numero de densidad para dos especies (o más) de particulas viene dada por \begin{equation} n_i=g_i \left(\frac{m_iK_bT}{2\pi \hbar}\right)^{3/2}e^{-\beta(m_i-\mu_i)} \label{3} \end{equation} Ahora queremos que las particulas esten en equilibrio quimico. Esto significa que no hay un cambio rapido entre pares de electrones \( + \) protones con hidrogeno. El numero de protones, electrones y hidrogeno esta equilibrado, esto asegura que $$\mu_e+\mu_p=\mu_H$$ Esto significa que si dos sistemas aislados tienen el mismo potencial quimico, entonces cuando se junten, no habrá un flujo neto de particulas de uno a otra. Además no hay potencial quimico para los fotones porque no se conservan. Ahora usando la ecuación \eqref{3} y usando la condición de equilibrio quimico tenemos $$\frac{n_H}{n_p n_e}= \frac{g_H}{g_e g_p}\left(\frac{m_h 2 \pi \hbar^2}{m_e m_p K_b T}\right)^{3/2} e^{-\beta (m_h - m_e - m_p)c^2}$$ Usando el hecho de que el universo es electricamente neutro, \( n_e=n_p \), tenemos $$\frac{n_h}{n_e^2}=\left(\frac{2\pi \hbar^2}{m_eK_bT}\right)^{3/2}e^{\beta E_{vinc}}$$ Esta ultima es la ecuación de Saha. Nuestro objetivo es comprender la fracción de pares electron-proton que se han combinado en hidrogeno, para ello definimos la fracción de ioniación $$\chi_e=\frac{n_e}{n_b}\approx \frac{n_e}{n_p+n_H}$$ en la ultima ecuacion ignoramos neutrones y elementos superiores. dado que \( n_e=n_p \), tenemos que \( \chi_e=1 \) cuando todos los electrones estan libres y \( \chi_e=0.1 \) significa que el \( 10\% \) de los electrones estan libres. Podemos reescribir esta ultima fracción de la siguiente manera para poder usar la ecuación de Saha \( \frac{1-\chi_e}{\chi_e^2}=\frac{n_H}{n_e^2}n_b \) Necesitamos saber el numero de bariones, esto lo tomamos del CMB considerando que el fondo cosmico de microondas tiene una temperatura de \( T_{cmb}=2.726\pm0.0006K \), no que nos da desviaciones de la temperatura del nivel de $$\frac{\Delta T}{T_{cmb}}\sim 10^{-5}$$ usando la densidad de energía para una distribución de cuerpo negro, la cual es $$\rho=\frac{\pi^2}{15\hbar c^3}(K_b T)^4$$ de la misma manera utilizando una distribución de cuerpo negro, podemos obtener la densidad numerica $$n=\frac{2\zeta(3)}{\pi^2\hbar^3 c^3}(K_bT)^3$$ Reemplazando la temperatura tenemos que \( \rho_{\gamma}=4.3 \times 10^{-14} kgm^{-1}s^{-2} \). Comparando con la densidad critica $$\Omega_{\gamma}=\frac{\rho_{\gamma}}{\rho_{c,0}}\approx 5 \times 10^{-5}$$ También podemos obtener la desndiad numerica para fotones del cmb $$n_{\gamma}=4 \times 10^8 m^{-3}$$ Ahora podemos comparar con el numero de bariones, usando la \( \Lambda CDM \) se sabe que la densidad de bariones comparada con la densidad critica es \( \Omega_b \approx 0.05 \) y por lo tanto la densidad de bariones es $$\rho_b=\Omega_b\rho_{c,0} \approx 4 \times 10^{-11} kgm^{-1}s^{-2}$$ La masa de protones y neutrones es mas o menos la misma \( m_p \approx 1.7 \times 10^{-27} \) esto da la densidad numerica de bariones $$n_b=\frac{\rho_b}{m_pc} \approx 0.3 m^{-3}$$ Vemos que hay muchos más fotones en el universo que Bariones $$\eta \equiv \frac{n_b}{n_{\gamma}}=10^{-9}$$ Este es un numero fundamental en cosmología. Introducimos este numero en la ecuación de Saha usando el hecho de que \( \eta \) se ha mantenido desde la recombinación y estamos considerando el hecho de que los fotones, protones y hidrogeno estan a la misma temperatura. Combinando lo anterior tenemos que $$\frac{1-\chi_e}{\chi_e^2}=\eta 2\zeta(3)/pi^2 \left(\frac{2\pi K_b T}{m_e}c^2\right)^{3/2}e^{\beta E_{vinc}}$$. cuando \( \chi_e=0.1 \) esto es \( 90\% \) electrones en el hidrogeno, tenemos la siguiente temperatura $$K_bT_{rec} \approx 0.3eV \longleftrightarrow T_{rec} \approx 3600K$$ esto en terminos en terminos de corrimiento al rojo es \( Z_{rec}=T_{rec}/T_0 \approx 1300 \) Esto es posterior a la igualdad masa-radiación( \( Z_{eq} \approx 3400 \) ) durante la recombinación el universo esta dominado por la materia, por lo tanto el tiempo fue en $$t_{rec} \approx \frac{t_0}{(1+z_{rec})^{3/2}} \approx 300.000$$B. Problemas de la cosmologia estandar del big bang
1. problema de planitud
En la teoria estandar tenemos que \( \ddot{s} < 0 \) esto impacta en la segunda parte de la ecuación
$$\Omega -1 = \frac{K}{a^2H^2}$$
Ya que \( H=\frac{\dot{a}}{a} \) tenemos que \( \frac{K}{\dot{a}^2} \) y como tenemos que \( a \) es definido positivo, cuando desacelera \( \ddot{a} < 0 \), la velocidad tiene que disminuir y por lo tanto \( \dot{a} \)
cada vez es más pequeño y cuando va aumentando el tiempo este termino se hace cada vez más pequeño, en cambio el termino a la derecha de la igualdad diverge. Lo que significa que \( \Omega \) tiende a evolucionar alejandose de la unidad.
Sin embargo las observaciones muestra que \( \Omega \) esta dentro de un pequeño porcentaje de la unidad. Particularmente \( \mid \Omega - 1 \mid < \vartheta(10^{-16}) \) para epoca nucleosintesis y \( \mid \Omega - 1 \mid < \vartheta(10^{-64}) \) en la epoca de Planck. Esto es una condicion inicial con un ajuste fino muy extremo.
2. problema de horizonte
Considere una longitud de onda comovil, \( \lambda \), y su correspondiente longitud de onda fisica, \( a\lambda \), en algún tiempo dentro del radio de Hubble, \( H^{-1} \). La evolución cosmologica del universo esta caracterizada por \( a \propto t^n \) con n entre 0 y 1(como hemos visto antes). <>br/
En este caso la longitud de onda fisica crece como \( a\lambda \propto t^n \), mientras que el radio de hubble evoluciona como \( H^{-1} \propto t \), por lo tanto la longitud de onda fisica se vuelve mucho más pequeña que el radio de Hubble para epocas tardias y por el contrario mucho más grande que el radio de Hubble en epocas tempranas. Esto significa que una region causalmente conectada solo puede ser una pequeña fracción del radio de Hubble.
Definimos primero el horiznonte de particulas \( D_h(t) \) que es la distancia recorrida por la luz desde el comienzo del universo, hasta \( t_{*} \) $$D_h(t)= a(t)d_h(t)$$ donde \( d_h \) corresponde al horizonte de particulas comovil. Poniendo \( t_{*} \) tenemos que \( D_{h}(t)= 3t \) para materia y \( D_{h}=2t \) para radiación. CUando observamos el CMB, fotones emitidos en la epoca de desacople tenemos que el horizonte de particulas a esa epoca es $$D_h(t_des)= a(t_des)d_h(t_des)$$ La relación del radio del horizonte de particulas comovil de esa epoca con el horizonte de particulas hoy se relaciona de la siguiente manera: $$\frac{d_h(t_des}{d_h(t_0} \approx \left(\frac{t_{des}}{t_0}\right)^{1/3}\approx 10^{-2}$$ Esto implica que las regiones conectadas causalmente con el ultimo scattering es mucho más pequeña que el horizonte de hoy en dia. En terminos de angulos la superficie conectada causalmente esta en el orden de \( 1^o \) lo que no corresponde con los datos del CMB.
3. el origen de la estructura a gran escala en el universo
El experimento que observa anisotropias en el CMB encuentra que la amplitud de estas son muy pequeña. Estas fluctuaciones de anisotropias se distribuyen en una escala tan grande que es imposible generalas a través de un proceso causal, con la metrica de FLRW entre el tiempo del big band y el ultimo scattering.
4. problema de densidad de reliquia
El paradigma estandar de la fisica moderna es que las leyes de la fisica eran más simples en el universo primitivo, porque luego las simetrias de gauge se rompieron. La ruptura de estas simetrias conducen a la producción de muchos elementos no deseados y estas son las reliquias, un ejemplo son los monopolos. se puede establecer un limite inferior para la densidad de defectos a partir de la consideración de un horizonte de tamaño finito donde se rompieron las simetrias. Estas reliquias si son estables podrian convertirse en el dominante material en el universo temprano. Esto contradice una variedad de observaciones, como la de abundancia de elementos ligeros.
C. Ideas de la cosmologia inflacionaria
El problema de la cosmologia estandar del Big Bang es que siempre exhibe una expansión desacelerada. Vamos a revisar un universo temprano con expansión acelerada, esto quiere decir
$$\ddot{a}>0 $$
Reemplazando esto en la ecuación de Raychaudhuri \( \ddot{a}/a=-C(\rho+3P)\)
tenemos que
$$\rho+3P < 0 $$
Esencialmente la condición \( \ddot{a} > 0 \) quiere decir que la tasa de cambio del factor de escala ( \( \dot{a} \) ) aumenta, esto relacionado con la tasa de expansión de hubble ( \( H=\dot{a}/a\) ) nos da que \( \dot{a}=Ha \) aumenta, por lo que el radio de hubble comovil ( \( 1/aH \) ) esta disminuyendo en un periodo de expansión del universo temprano.
1. problema de planitud
Anteriormente deducimos la ecuación de friedmann en parametro de densidad \( \Omega - 1 =\frac{K}{a^2H^2} \), si el termino \( a^2H^2 \) incrementa durante la inflación, \( \Omega \) se acerca rapidamente a la unidad, después de este periodo continua las fase del Big Bang convencional y \( \mid\Omega -1 \mid \) comienza a aumentar de nuevo. Pero el periodo de inflación dura lo sufieciente para acercar \( \Omega \) tanto a la unidad que permanece cercano hasta la epoca presente.
2. problema de horizonte
Sabemos que el factor de escala evoluciona proporcional con \( a\propto t^n \) con \( 0 < n < 1 \) para eras dominadas por radiación o materia. Para una epocade inflación \( n > 1 \), Esto es a partir de
$$\ddot{a}>0$$
$$a \propto t^n$$
$$\dot{a} \propto nt^{n-1}$$
$$\ddot{a} \propto n(n-1)t^{n-2}$$
con \( \ddot{a}>0 \), tenemos que \( n(n-1)t^{n-2}>0 \) y por lo tanto \( n-1>0 \) y \( n>1 \) para inflación.
El radio de Hubble comovil va proporcional a \( \frac{1}{aH} \propto t^{1-n} \) por lo tanto la longitud de onda crece más rapido que el radio de Hubble y las longitudes de ondas son tiradas fuera del radio de Hubble.
Para resolver el problema del horizonte, se necesita que la siguiente desigualdad se cumpla para el horizonte de particulas comovil
$$\int_{t_{*}}^{t_{des}} \frac{dt}{a(t)}>>\int_{t_{des}}^{t_{0}} \frac{dt}{a(t)}$$
el horizonte de particulas comovil desde el Big Bang hasta la epoca en que trascurre el desacople debe ser mayor al horizonte de particulas comovil desde el desacople hasta la actualidad.
Se debe cumplir esta condición para que todas las regiones del universo observable esten causalmente conectadas.
3. el origen de la estructura a gran escala en el universo
El hecho de que la tasa de Hubble, \( H(t) \), es casi invariante durante la inflación significa que es posible generar una densidad de pertuación en escala casi invariante. Dado que la escala de perturbación esta dentro de el radio de Hubble en la etapa incial de inflación, la fisica causal genera pequeñas flutuaciones cuanticas.
En escalas muy pequeñas, las perturbaciones cuanticas puenden tratarse descuidando el analisis cosmologico y usando un espacio tiempo plano. Pero después estas fluctuaciones se tiran fuera del radio de Hubble y ya no se puede descuidar la expansión de Hubble.
Cuando el periodo inflacionario termina, la evolución del universo sigue bajo la cosmologia estandar del Big Bang, y el radio de Hubble comienza a aumentar hasta que las escalas de perturbaciones cruzan dentro del radio de Hubble.
Las pequeñas fluctuaciones impresas durante la inflación tienen amplitudes determinadas por la tasa de Hubble que es aproximadamente constante y por lo tanto conduce a un espectro de escala casi invariante con amplitud constante. De esta manera el paradigma inflacionario proporciona naturalmente un mecanismo causal para generar las semillas de las perturbaciones de densidad observadas en las anisotropias del CMB.
4. problema de densidad de reliquias
Durante la fase inflacionaria ( \( \rho+3P < 0 \) ), la densidad de energía del universo disminuye muy lentamente. Por ejemplo cuando el universo evoluciona como \( a \propto t^n \) con \( n > 1 \) tienen \( H \propto t^{-1} \propto a^{-1/n} \) y \( \rho \propto a^{-2/n} \). Mientras tanto la densidad de energía de las partículas masivas disminuye mucho más rapido ( \( \propto a^{-3} \) ), y estas particulas se desplazan al rojo durante la inflación, resolviendo así el problema de los monopolos, siempre que como la transición de ruptura de simetría que produce los monopolos ocurre al menos a 20 e-folds antes del fin de la inflación.
También hay que preocuparse de la producción de estas particulas no deaseadas durante el proceso de recalentamiento seguido de la inflación.
D. Dinamica de inflación
La Acción para una densidad Lagrangiana es
$$S=\int d^4x \sqrt{-g} \mathcal{L}$$
Vamos a tomar un Lagrangiano con un unico campo escalar \( \phi \), real y desacoplado a otros campos, con termino de energía cinetica y potencial
$$\mathcal{L}=-\frac{1}{2}g^{\mu \nu} \partial_{\mu}\phi \partial_{\nu}\phi-V(\phi)$$
buscamos las ecuaciones de movimiento a partir de la variación de la acción
$$\delta S= \int d^4x \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\delta \phi+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\delta(\partial_{\mu}\phi)\right]$$
escribimos lo anterior en integral por parte
$$\delta S=\int d^4 x \left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-\frac{\partial}{\partial X^{\mu}}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right)\right]\delta \phi + \int
d^4 x \frac{\partial}{\partial X^{\mu}}\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\delta \phi \right]$$
\( \delta \phi=0 \) En el infinito por lo que el ultimo termino desaparece y nos queda una ecuación de Euler-Lagrange
$$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}-\frac{\partial}{\partial X^{\mu}}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_{\mu}\phi)}\right)=0$$
Ahora nos queda resolver la ecuación anterior con el lagrangiano que hemos definido y usando la metrica de FRW
$$V_{\phi}(\phi)-\frac{\partial}{\partial X^{\mu}} \left( \dot{\phi}-\frac{\partial_{\mu} \phi}{a^2(t)} \right) = V_{\phi}(\phi)-\ddot{\phi}+3 \frac{\dot{a}}{a} \dot{\phi}-\frac{ \nabla^2 \phi}{a^2}=0 $$
Podemos escribir el tensor energía-momentum para un campo escalar definido a partir de la acción de Hilbert-Einstein
$$T_{\mu \nu}=-2\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial g^{\mu \nu}}+g_{\mu \nu}\mathcal{L}$$
usando nuestro densidad de lagrangiano definido inicialmente, tenemos
$$T_{\mu \nu}=\partial_{\mu}\phi \partial_{\nu}\phi-g_{\mu \nu}\left[\frac{1}{2}g^{\alpha \beta}\partial_{\alpha} \phi \partial_{\beta}\phi+V(\phi)\right]$$
Resolvemos usando la metrica de FRW y \( T_{\mu \nu} \) para un fluido perfecto en un sistema de referencia en reposo respecto al fluido \( T_{\mu \nu}=(\rho+P)u_{\mu}u_{\nu}+Pg_{\mu \nu} \) tenemos
$$T_{00}=\rho_{\phi}=\frac{1}{2}\dot{\phi}^2+V(\phi)$$
$$T_{11}=P_{\phi}=\frac{1}{2}\dot{\phi}^2-V(\phi)$$
El campo escalar homogeneo \( \phi \) considerado hasta ahora lo llamaremos inflaton, donde $V(\phi)$ es la energía potencial del inflaton.
Sustituyendo \( \rho \) y la presión en la ecuación de Friedmann y de Raychaudhuri respectivamente tenemos los siguiente:
$$H^2=\frac{8\pi}{3m_{pl}^2}\left[1/2 \dot{\phi}^2+V(\phi)\right]$$
$$\ddot{\phi}+3H\dot{\phi}+V_{\phi}(\phi)=0$$
en la primera de estas ecuaciones el termino \( K=0 \) ya que no aporta nada concreto a la discusión.
Debemos agregar una simplificación, solo estamos interesados en un campo espacialmente homogeneo, por lo que no deberia variar espacialmente. Esto significa que \( \nabla \phi = 0 \) y \( \phi(x,t)=\phi(t) \), por lo que la ecuación de movimiento obtenida se reduce a
$$V_{\phi}(\phi)-\ddot{\phi}+3H\dot{\phi}=0$$
Es analogo a un oscilador armonico, el termino extra \( 3H\dot{\phi} \) es similar a un termino de fricción, a veces se le llama fricción de Hubble. La condición del campo escalar para que \( \ddot{a} > 0 \) requiere que \( \rho+3P <0 \).
En ese sentido se tiene que cumplir que \( \dot{\phi}^2 < V(\phi) \) por lo tanto se requiere un campo escalar rodando lo suficientemente lento y por lo tanto plano sobre el potencial tal que podemos esperar que \( \ddot{\phi} \) sea insignificante
Tenemos la aproximación \( \dot{\phi} \simeq -V_{\phi}/3H \) y la condición \( \dot{\phi}^2 << V \), reemplazamos esta condición en la aproximación y tenemos $$V_{\phi}^2 << 9H^2V$$ Ahora usando la aproximación del parametro de hubble \( H^2 \simeq 8\pi V/3m_{pl}^2 \) tenemos $$V_{\phi}^2 << \frac{8\pi V^2}{3m_{pl}^2} \longrightarrow \left(\frac{V_{\phi}}{V}\right)^2\frac{3m_{pl}^2}{8\pi} << 1 $$ Definimos este parametro como \( \epsilon \equiv \frac{m_{pl}^2}{16\pi}\left(\frac{V_{\phi}}{V}\right)^2 \) Siempre que se cumpla que \( \epsilon<<1 \) estamos en inflación. También es posible derivar una condición adicional realcionando el hecho de que la inflación debe durar un tiempo lo suficientemente largo (no siempre se tendra \( \ddot{\phi}=0 \) ) a partir de \( 3H\dot{\phi} \simeq -V_{\phi} \) considerando \( H \) constante durante la inflación $$3H\dot{\phi} \simeq -V_{\phi \phi}\dot{\phi} \longrightarrow \ddot{\phi}=\frac{-V_{\phi \phi}\dot{\phi}}{3H}$$ usando la aproximación \( \dot{\phi} \simeq -V_{\phi}/3H \) tenemos $$ \ddot{\phi}= \frac{V_{\phi \phi}V_{\phi}}{9H^2} \longrightarrow \frac{V_{\phi \phi}V_{\phi}}{9H^2} << V_{\phi} \longrightarrow \frac{V_{\phi \phi}}{9H^2}<<1 $$ Finalmente queda reemplazar la aproximación del parametro de Hubble en terminos del potencial y tenemos. $$\frac{m_{pl}^2V_{\phi \phi}}{8\pi V}<<1$$ definimos \( \eta \equiv \frac{m_{pl}^2V_{\phi \phi}}{8\pi V} \) la ecuación se puede escribir (ya que en principio \( V_{\phi \phi} \) puede ser negativo) como $$\mid \eta \mid <<1$$ Cuando \( \epsilon<<1 \) y \( \mid \eta \mid <<1 \) se reduce a las ecuación de anteriormente obtenidas de slow-roll.
Estas dos ecuaciónes se denominan aproximación de slow-roll (SRA), las desigualdades son necesarias para que la aproximación Slow-Roll sea aplicable(en la mayoria de los casos también son suficientes). Además facilita el trabajo para diferentes potenciales ya que estan en termino del potencial.
También destacar que si \( \epsilon < 1 \) se garantiza inflación ( \( \ddot{a} > 0 \) ), cuando \( \epsilon=1 \) marca el fin de la inflación.
Estos parametros suelen llamarse condición de planitud.
Se puede encontrar otro parametro usando la formula de lento girar \( 3H\dot{\phi} \simeq - V_{\phi} \), podemos calcular la tasa de cambio de \( H \) y \( \epsilon \) en terminos del potencial y sus derivadas. En lugar de t, es útil trabajar con \( dN \equiv -H dt \) y tenemos $$-\frac{d(\ln H)}{dN} \simeq -\epsilon \ \ \ -\frac{d(\ln \epsilon)}{dN} \simeq 4\epsilon-2\eta$$ mediante una diferenciación tenemos $$-\frac{d\eta}{dN} \simeq 2\epsilon \eta - \xi \ \ \ \ -\frac{d \xi}{dN} \simeq 4\epsilon \xi - \eta \xi -\sigma$$ donde se obtiene que $$ \xi^2=\frac{m_{pl}^4 V_{\phi} V_{\phi \phi \phi}}{64 \pi^2 V^2} $$ Esta ultima formula sera util cualndo lleguemos a considerar la perturbación de curvatura generada durante la inflación.
La fase inflacionaria finaliza cuando \( \epsilon \) y \( \eta \) crecen al orden de la unidad. Una cantidad util para describir la cantidad de inflación es e-folds, definida por $$N \equiv \ln \frac{a_f}{a}=\int_t^{t_f}Hdt \simeq \frac{8 \pi}{m^2_{pl}}\int_{\phi_f}^{\phi}\frac{V}{V_{\phi}}d\phi$$ donde el subindice \( f \) denota el fin de la inflación. Para resolver el problema de planitud se requiere que \( \Omega \) sea \( \mid\Omega_f-1 \mid \lesssim 10^{-60} \) justo despues del fin de la inflación. Mientras tanto la relación entre \( \mid\Omega-1 \mid \) entre el inicio y fin de la fase de slow-roll de inflación es $$\frac{\mid\Omega_f-1 \mid}{\mid\Omega_i-1 \mid}\simeq \left(\frac{a_i}{a_f}\right)^2=e^{-2N_i}$$ Donde usamos el hecho de que H es casi constante durante inflación slow-roll. También \( \mid\Omega_i-1 \mid \) es del orden de la unidad, se requiere que el numero de e-folds sea \( N\gtrsim 60 \) para resolver el problema de planitud.
E. Modelos de inflación
Hasta ahora no hemos discutido la forma del potencial del inflaton, \( V(\phi) \). La inflación tiene que dar paso al modelo estandar de cosmologia, existen una gran variedad de modelos inflacionarios: \( R^2 \) ,caotico, extendido, ley de potencia, hibrido, natural, sobrenatural, extra-natural, eterno, entre muchos más.
Los diferentes tipos de modelos inflacionarios de campo unico pueden clasificarse a grandes rasgos de la siguiente manera.
- tipo I: consiste en los modelos de " campo grande", en el que el valor inicial del inflaton es grande y gira lentamente hacia el potencial minimo.
La inflación caotica es uno de los factores representativos de esta clase de modelos. - tipo II: consiste en los modelos de "campo pequeño", en los que el campo de inflación es pequeño inicialmente y evouciona lentamente de un potencial minimo a uno mayor
- tipo III: consiste en modelos hibrido de inflación en los que la inflación normalmente termina por una transición de fase desencadenada por la presencia de un segundo campo escalar.
- tipo IV: consiste en los modelos de doble inflación en los que existen dos campos escalares dinamicos que conducen a dos etapas de inflación.
A pesar de lo anterior repasaremos brevemente los 4 tipos de modelos.
se pueden obtener formas analiticas de soluciones bajo la aproximación de giro lento \( \epsilon<<1 \) y \( \mid \eta \mid <<1 \). Por ejemplo en el caso del potencial cuadratico (\( n =2 \) y \( V_0=m^2/2 \)) obtenemos la siguiente relación (recordando \( H^2\simeq 8\pi V(\phi)/3m_{pl}^{2} \) y \( 3H\dot{\phi} \simeq -V_{\phi}(\phi) \) ): $$\phi \simeq \phi_i - \frac{mm_{pl}}{2\sqrt{3\pi}}t$$ $$a \simeq a_i e^{2\sqrt{\frac{\pi}{3}}\frac{m}{m_{pl}}\left(\phi_i t - \frac{mm_{pl}}{4\sqrt{3\pi}}t^2\right)} $$ donde \( \phi_i \) es una cte de integración correspondiente al v.i. del inflaton. $$a \simeq a_i e^{2\sqrt{\frac{\pi}{3}}\frac{m}{m_{pl}}\left(\phi_i t - \frac{mm_{pl}}{4\sqrt{3\pi}}t^2\right)} $$ esta ultima ecuación implica que el universo se expande exponencialmente durante la fase inicial de inflación. La tasa de expansión se relantiza al aumentar el segundo termino en el corchete. Requerimos la condición \( \phi_i\gtrsim 3m_{pl} \) para poder tener un numero de e-folds mayor que \( N=60 \)
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